दोलन: सरल आवर्त गति और सरल लोलक के नोट्स

जो गति समान समय अंतराल में स्वयं को दोहराती है, उसे आवर्त गति कहते हैं; और जब पिंड किसी निश्चित बिंदु के आगे-पीछे आता-जाता है, तो वह दोलन गति भी होती है। झूला, लोलक, घड़ी का संतुलन चक्र, स्प्रिंग से लटका भार तथा ठोस के परमाणु अपने स्थान के चारों ओर—सभी दोलन करते हैं। इसका सरलतम और सर्वाधिक महत्वपूर्ण रूप सरल आवर्त गति है, जिसमें पिंड पर लगने वाला प्रत्यानयन बल माध्य स्थिति से विस्थापन के अनुक्रमानुपाती होता है और उसी स्थिति की ओर लगता है। इस अध्याय के प्रश्न प्राय: तीन स्थानों से आते हैं—आवर्तकाल के दो सूत्र, लोलक में कोई परिवर्तन करने पर उसका व्यवहार, तथा वे स्थितियां जहां गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा, वेग और त्वरण अधिकतम या न्यूनतम होते हैं।

सरल आवर्त गति और उसकी राशियां

सरल आवर्त गति में प्रत्यानयन बल F = -kx होता है, जहां x विस्थापन और k बल नियतांक है; अत: त्वरण = -ω²x, जो सदैव माध्य स्थिति की ओर होता है और वहीं सर्वाधिक होता है जहां विस्थापन सर्वाधिक है। विस्थापन समय के साथ x = A sin(ωt + φ) के रूप में बदलता है। आयाम A दोनों ओर का अधिकतम विस्थापन है; आवर्तकाल T एक पूर्ण दोलन का समय है; आवृत्ति f एक सेकंड में दोलनों की संख्या है, जिसका मात्रक हर्ट्ज है; और कोणीय आवृत्ति ω = 2πf = 2π/T होती है। वेग ω√(A² - x²) होता है, अत: वह माध्य स्थिति पर अधिकतम (Aω) और अंतिम स्थितियों पर शून्य होता है। त्वरण इसके विपरीत है—माध्य स्थिति पर शून्य और अंतिम स्थितियों पर अधिकतम (Aω²)। स्प्रिंग से लटके द्रव्यमान m के लिए आवर्तकाल T = 2π√(m/k) होता है, और यही एकमात्र स्थिति है जिसमें द्रव्यमान आवर्तकाल को प्रभावित करता है।

सरल लोलक

सरल लोलक भारी बिंदु द्रव्यमान होता है, जो दृढ़ आधार से हल्के और अवितान्य धागे से लटका रहता है। लघु दोलनों के लिए इसका आवर्तकाल T = 2π√(l/g) होता है। इससे चार नियम निकलते हैं, जिन्हें परीक्षक एक-एक करके पूछते हैं।

जिस लोलक का आवर्तकाल ठीक दो सेकंड हो, उसे सेकंड लोलक कहते हैं; जहां g = 9.8 मीटर प्रति वर्ग सेकंड है, वहां उसकी लंबाई लगभग 99.4 सेंटीमीटर, अर्थात लगभग एक मीटर होती है। ताप बढ़ने पर लंबाई बढ़ती है, इसलिए लोलक घड़ी ग्रीष्म में सुस्त और शीत में तेज चलती है; इस त्रुटि को घटाने के लिए घड़ी बनाने वाले इनवार मिश्रातु का उपयोग करते हैं, जिसका प्रसार गुणांक बहुत कम होता है। गैलीलियो ने पहली बार देखा कि झूलते दीपक का आवर्तकाल उसके झूलने की दूरी पर निर्भर नहीं करता, और क्रिस्टियान हाइगेंस ने इसी सिद्धांत से 1656 में पहली लोलक घड़ी बनाई।

सरल आवर्त गति में ऊर्जा

दोलक की ऊर्जा का रूप बदलता रहता है, परंतु घर्षण के अभाव में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है। गतिज ऊर्जा माध्य स्थिति पर अधिकतम और अंतिम स्थितियों पर शून्य होती है; स्थितिज ऊर्जा अंतिम स्थितियों पर अधिकतम और माध्य स्थिति पर शून्य होती है; तथा दोनों का योग, अर्थात कुल ऊर्जा, ½kA² अथवा ½mω²A² होती है। इससे दो तथ्य निकलते हैं, जो परीक्षाओं में प्रिय हैं—कुल ऊर्जा आयाम के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है, अत: आयाम दोगुना करने पर ऊर्जा चार गुनी हो जाती है; और विस्थापन के एक चक्र में गतिज तथा स्थितिज ऊर्जा दो चक्र पूरे करती हैं, अर्थात उनकी आवृत्ति दोलन की आवृत्ति से दोगुनी होती है।

अवमंदित एवं प्रणोदित दोलन तथा अनुनाद

वास्तविक दोलन घर्षण और वायु के प्रतिरोध से ऊर्जा खोकर धीरे-धीरे समाप्त हो जाते हैं; इसे अवमंदित दोलन कहते हैं, जिसमें आयाम लगातार घटता है, पर आवर्तकाल लगभग अपरिवर्तित रहता है। यदि बाहर से कोई आवर्ती बल लगाया जाए, तो पिंड अंत में उसी बल की आवृत्ति से दोलन करने लगता है, जो प्रणोदित दोलन है। जब लगाए गए बल की आवृत्ति पिंड की स्वाभाविक आवृत्ति के बराबर हो जाती है, तो आयाम बहुत बढ़ जाता है; इसे अनुनाद कहते हैं। इसी से स्पष्ट होता है कि पुल पार करते समय सैनिकों को कदमताल तोड़ने का आदेश क्यों दिया जाता है, रेडियो किसी एक केंद्र को क्यों पकड़ता है जब उसका परिपथ उस आवृत्ति पर समस्वरित हो, गायक के स्वर से कांच क्यों टूट सकता है और सितार या वायलिन का खोखला भाग ध्वनि को क्यों बढ़ाता है।