गुरुत्व केंद्र, बल आघूर्ण और संतुलन: परीक्षा नोट्स

कोई बल किसी दृढ़ पिंड पर दो काम कर सकता है: उसे एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाना, या किसी अक्ष के चारों ओर घुमाना। घुमाने का प्रभाव बल आघूर्ण है, वह बिंदु जहां पिंड का संपूर्ण भार कार्यरत माना जाता है उसका गुरुत्व केंद्र है, और जिस पिंड पर दोनों प्रभाव शून्य हो जाएं वह संतुलन में है। ये तीन विचार झूले, पाने, उत्तोलक, भरी बस और झुकी मीनार से जुड़े प्रत्येक प्रश्न में आते हैं, और परीक्षा के तथ्य थोड़े तथा निश्चित हैं: बल आघूर्ण का सूत्र, उसका मात्रक, मानक पिंडों के गुरुत्व केंद्र की स्थिति और संतुलन की दो शर्तें।

द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्व केंद्र

किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जहां गति के प्रयोजन से उसका संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है। गुरुत्व केंद्र वह बिंदु है जिससे होकर पिंड का परिणामी भार कार्य करता है। एकसमान गुरुत्व क्षेत्र में, जो पृथ्वी पर सभी सामान्य पिंडों के लिए सत्य है, ये दोनों बिंदु एक ही होते हैं और प्रश्नपत्र इन्हें एक ही मानते हैं; ये केवल उन पिंडों के लिए अलग होते हैं जो इतने बड़े हों कि उनके निचले सिरे पर गुरुत्व मापने योग्य रूप से अधिक हो। गुरुत्व केंद्र के दो तथ्य बार-बार पूछे जाते हैं। पहला, यह पिंड के पदार्थ के भीतर होना आवश्यक नहीं है: यह छल्ले के छिद्र के केंद्र पर, खोखले गोले की गुहा के केंद्र पर तथा अंग्रेजी के एल अक्षर जैसी पट्टिका या घोड़े की नाल के पदार्थ से बाहर होता है। दूसरा, लटकाया गया पिंड इस प्रकार ठहरता है कि उसका गुरुत्व केंद्र निलंबन बिंदु के ठीक नीचे ऊर्ध्वाधर में आ जाए, और यही अनियमित पट्टिका का गुरुत्व केंद्र साहुल सूत्र से ज्ञात करने का आधार है।

सामान्य एकसमान पिंडों का गुरुत्व केंद्र

बल आघूर्ण

बल आघूर्ण किसी अक्ष के परितः बल के घुमाने के प्रभाव को मापता है। यदि बल F उस बिंदु पर लगे जिसका अक्ष से स्थिति सदिश r है और दोनों के बीच कोण थीटा हो, तो बल आघूर्ण का परिमाण r गुणा F गुणा साइन थीटा होता है, जिसे बल गुणा उसकी क्रिया रेखा की अक्ष से लंबवत दूरी के रूप में भी पढ़ा जा सकता है। बल आघूर्ण सदिश राशि है, जिसकी दिशा घूर्णन अक्ष के अनुदिश होती है और दक्षिण हस्त नियम से ज्ञात की जाती है। इसका एसआई मात्रक न्यूटन मीटर है और विमीय सूत्र M L वर्ग T की घात ऋण दो है, जो कार्य तथा ऊर्जा का भी है, फिर भी बल आघूर्ण भिन्न भौतिक राशि है। तीन परिणाम याद रखने योग्य हैं। जिस बल की क्रिया रेखा अक्ष से होकर जाती है वह कोई आघूर्ण नहीं देता, क्योंकि कोण शून्य है। बल आघूर्ण अधिकतम तब होता है जब बल भुजा के समकोण पर लगाया जाए। और समान बल के लिए लंबी भुजा अधिक आघूर्ण देती है, इसीलिए लंबा पाना कसे नट को खोल देता है, दरवाजे का हत्था कब्जों से दूर लगाया जाता है और भारी वाहन का स्टीयरिंग बड़ा होता है। स्थिर आघूर्ण द्वारा किया कार्य आघूर्ण गुणा कोणीय विस्थापन और शक्ति आघूर्ण गुणा कोणीय वेग होती है।

युग्म और आघूर्णों का सिद्धांत

दो समान, विपरीत तथा समांतर बल, जिनकी क्रिया रेखाएं एक न हों, युग्म बनाते हैं। युग्म से स्थानांतरण नहीं, केवल घूर्णन होता है, और युग्म का आघूर्ण एक बल गुणा दोनों क्रिया रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी होता है, जैसे नल, पेचकस अथवा स्टीयरिंग घुमाने में। आघूर्णों का सिद्धांत कहता है कि किसी स्थिर अक्ष पर घूमने के लिए स्वतंत्र पिंड घूर्णी संतुलन में तब होता है जब उस अक्ष के परितः दक्षिणावर्त आघूर्णों का योग वामावर्त आघूर्णों के योग के बराबर हो। यही तुला, झूले और प्रत्येक उत्तोलक का कार्य नियम है। उत्तोलक में यांत्रिक लाभ भार तथा आयास का अनुपात होता है, जो आयास भुजा और भार भुजा के अनुपात के बराबर है, इसलिए लंबी आयास भुजा बल को कई गुना कर देती है।

संतुलन की शर्तें

दृढ़ पिंड पूर्ण यांत्रिक संतुलन में तब होता है जब दो शर्तें साथ पूरी हों: उस पर लगने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य हो, जो रैखिक संतुलन देता है, और किसी भी अक्ष के परितः सभी आघूर्णों का सदिश योग शून्य हो, जो घूर्णी संतुलन देता है। अकेली कोई शर्त पर्याप्त नहीं है, और इसका मानक उदाहरण युग्म है: बल एक दूसरे को काट देते हैं, इसलिए पिंड हटता नहीं, फिर भी वह घूमता है, क्योंकि आघूर्ण नहीं कटते।

स्थायी, अस्थायी और उदासीन संतुलन

• स्थायी संतुलन: थोड़ा विस्थापित करने पर गुरुत्व केंद्र ऊपर उठता है और पिंड पुरानी स्थिति में लौट आता है। उदाहरण: आधार पर रखा शंकु, मेज पर सीधा पड़ा पुस्तक और नीचे गिट्टी वाला जलयान।
• अस्थायी संतुलन: थोड़ा विस्थापित करने पर गुरुत्व केंद्र नीचे गिरता है और पिंड और दूर चला जाता है। उदाहरण: शीर्ष पर संतुलित शंकु, नोक पर खड़ी पेंसिल और पतले सिरे पर रखा अंडा।
• उदासीन संतुलन: गुरुत्व केंद्र की ऊंचाई वही रहती है और पिंड नई स्थिति में ठहर जाता है। उदाहरण: क्षैतिज तल पर रखा गोला या बेलन और पार्श्व पर पड़ा शंकु।

दैनिक जीवन में स्थायित्व

पिंड तब अधिक स्थायी होता है जब उसका गुरुत्व केंद्र नीचा हो और आधार चौड़ा हो, और वह तब गिरता है जब गुरुत्व केंद्र से खींची ऊर्ध्वाधर रेखा आधार से बाहर पड़ जाए। यही एक नियम परीक्षा के अनेक उदाहरण समझा देता है: दौड़ कारें नीची और चौड़ी बनाई जाती हैं; दोमंजिली बस में अधिक यात्री निचले तल पर बैठाए जाते हैं; चलती बस में खड़ा यात्री पैर फैलाकर आधार चौड़ा करता है; पीठ पर भार उठाने वाला व्यक्ति आगे झुककर संयुक्त गुरुत्व केंद्र पैरों के ऊपर रखता है; और पीसा की झुकी मीनार इसलिए खड़ी है कि उसके गुरुत्व केंद्र से खींची ऊर्ध्वाधर रेखा अभी भी उसके आधार के भीतर गिरती है। घूर्णन में द्रव्यमान का समतुल्य जड़त्व आघूर्ण है, जो द्रव्यमान गुणा अक्ष से दूरी के वर्ग का योग है, इसलिए बल आघूर्ण बराबर जड़त्व आघूर्ण गुणा कोणीय त्वरण और कोणीय संवेग बराबर जड़त्व आघूर्ण गुणा कोणीय वेग होता है। जब कोई बाह्य आघूर्ण न लगे तो कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, इसीलिए हाथ भीतर समेटने वाला स्केटर जड़त्व आघूर्ण घटाकर तेज घूमता है और गोताखोर शरीर समेटकर हवा में शीघ्र पलटता है।