लॉजिक गेट और बूलियन बीजगणित: परीक्षा नोट्स

सही उत्तर है B, ऑर। सारणी को पंक्ति दर पंक्ति पढ़ें। निर्गम 0 केवल तब है जब दोनों निवेश 0 हों, और शेष तीनों पंक्तियों में, उस पंक्ति में भी जहाँ दोनों निवेश 1 हैं, निर्गम 1 है। यह ठीक ऑर गेट का नियम है, जो कम से कम एक निवेश के 1 होने पर 1 देता है और समांतर क्रम में जुड़े दो स्विचों जैसा व्यवहार करता है। A गलत है क्योंकि नॉट गेट में केवल एक निवेश होता है, इसलिए उसकी सारणी में दो निवेश स्तंभ हो ही नहीं सकते। C गलत है क्योंकि एक्सऑर गेट केवल निवेशों के अंतर पर प्रतिक्रिया करता है, इसलिए दोनों निवेश 1 वाली अंतिम पंक्ति में उसका निर्गम 1 के बजाय 0 होता; यही एक पंक्ति ऑर को एक्सऑर से अलग करती है और इसी कारण यह विकल्प रखा जाता है। D गलत है क्योंकि एंड गेट केवल अंतिम पंक्ति में 1 और पहली तीन में 0 देता है, जो दिखाई गई सारणी का उल्टा है।

सही उत्तर है B, नैंड और नॉर। इनमें से प्रत्येक गेट अकेला ही हर दूसरा गेट और इसलिए हर तर्क परिपथ बनाने के लिए पर्याप्त है: दोनों निवेश जोड़ दिए गए नैंड गेट नॉट की तरह काम करता है, क्रम में लगे दो नैंड एंड देते हैं, और तीन का उपयुक्त विन्यास ऑर देता है; यही सब केवल नॉर गेटों से भी हो सकता है। इसी कारण चिप निर्माता एक ही प्रकार के गेट वाले पैकेज बेचते हैं। A गलत है क्योंकि एंड और ऑर अपने आप पूरक नहीं बना सकते; नॉट के बिना वे कभी किसी संकेत को उलट नहीं सकते। C गलत है क्योंकि एक्सऑर और एक्सनॉर स्वयं व्युत्पन्न गेट हैं, जो आधारभूत तीनों से बने हैं, और इनमें से कोई अकेला पूरा समूह नहीं बना सकता। D गलत है क्योंकि नॉट के साथ एंड से सब कुछ बनाया जा सकता है, पर इस जोड़ी को सार्वत्रिक गेट का नाम नहीं दिया जाता; यह नाम उन दो अकेले गेटों के लिए है जो स्वयं पर्याप्त हैं।

सही उत्तर है B, पूरकों का योग। डी मॉर्गन का दूसरा प्रमेय कहता है कि A और B का पूरक, A के पूरक या B के पूरक के बराबर होता है। काम करने का नियम है रेखा तोड़ो और चिह्न बदलो, इसलिए पूरक को चरों पर वितरित करते ही बिंदु जोड़ में बदल जाता है। A गलत है क्योंकि पूरकों का गुणनफल पहले प्रमेय का परिणाम है, जो योग के पूरक पर लागू होता है, गुणनफल के पूरक पर नहीं; दोनों प्रमेयों को आपस में बदल देना इस प्रश्न की मानक भूल है। C गलत है क्योंकि किसी व्यंजक का पूरक लेने पर वह बदलना ही चाहिए, जब तक वह कोई अचर न हो, और A तथा B का गुणनफल अपना पूरक नहीं है। D गलत है क्योंकि मान निवेशों पर निर्भर करता है: जब A और B दोनों 1 हों तो व्यंजक 0 हो जाता है, इसलिए वह सदैव 1 नहीं रह सकता। दोनों प्रमेय मिलकर केवल नैंड या केवल नॉर से अभिकल्पना संभव बनाते हैं।

सही उत्तर है C, जब दोनों निवेश भिन्न हों। अपवर्जी ऑर गेट अंतर-संसूचक है: वह 0 और 1 या 1 और 0 के संयोजनों पर 1 देता है, और निवेश समान होने पर 0 देता है। इसे कभी-कभी कोई एक, पर दोनों नहीं, के रूप में पढ़ा जाता है। A गलत है क्योंकि दोनों निवेश 1 होने पर एक्सऑर का निर्गम 0 होता है; यही पंक्ति उसे साधारण ऑर गेट से अलग करती है, जो वहाँ 1 देता। B गलत है क्योंकि दोनों निवेश 0 होने पर भी वे समान हैं, इसलिए निर्गम फिर 0 ही है। D गलत है क्योंकि समान निवेशों पर 1 देना एक्सनॉर गेट का लक्षण है, जो एक्सऑर का पूरक है, समता-संसूचक की तरह काम करता है और दो द्विआधारी संख्याओं की बिट दर बिट तुलना में प्रयोग होता है। अर्ध योजक में एक्सऑर गेट योग बिट देता है और एंड गेट हासिल।

सही उत्तर है D, पूरक अथवा अपूरक रूप में कोई चर। बूलियन बीजगणित में लिटरल किसी व्यंजक में किसी चर की एक उपस्थिति है, चाहे वह सादा आए या उस पर रेखा लगी हो। लिटरल की गिनती से यह आँका जाता है कि कोई व्यंजक कितना महँगा है, क्योंकि प्रत्येक लिटरल किसी गेट की एक निवेश रेखा बनता है, इसलिए सरलीकरण की सफलता इससे नापी जाती है कि उसने कितने लिटरल हटाए। A गलत है क्योंकि पद को केवल सादे रूप तक सीमित कर देने पर पूरक उपस्थिति के लिए कोई नाम ही नहीं बचेगा, जबकि वह भी लिटरल है। C इसके उल्टे कारण से गलत है: पूरक रूप ही एकमात्र प्रकार नहीं है। B गलत है क्योंकि जैसा लिखा है, वह चर को उसके पूरक के साथ लेने का संकेत देता है, जो एक जोड़ी का वर्णन है, न कि उस एक उपस्थिति का जो लिटरल होती है। ध्यान रखें कि A और B का पूरक जैसे पद में दो लिटरल तथा दो चर होते हैं।

सही उत्तर है B, जॉर्ज बूल, वह अंग्रेज़ गणितज्ञ जिन्होंने उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में दिखाया कि तर्क को केवल दो मानों, सत्य और असत्य, के बीजगणित के रूप में लिखा जा सकता है। यह प्रणाली दशकों तक शुद्ध गणित का विषय रही, जब तक क्लॉड शैनन ने यह नहीं दिखाया कि वही बीजगणित विद्युत स्विचन परिपथों का ठीक वर्णन करता है, जिससे डिजिटल संगणन का मार्ग खुला। A गलत है क्योंकि चार्ल्स बैबेज ने डिफ़रेंस इंजन और एनालिटिकल इंजन की अभिकल्पना की और उन्हें कंप्यूटर का पिता कहा जाता है, पर उनका काम यांत्रिक गणना पर था, तर्क के बीजगणित पर नहीं। C गलत है क्योंकि ब्लेज़ पास्कल ने सत्रहवीं शताब्दी में पास्कलाइन नामक आरंभिक यांत्रिक जोड़ मशीन बनाई थी। D गलत है क्योंकि जॉन वॉन न्यूमैन ने संचित प्रोग्राम वास्तुकला दी, जिसमें निर्देश और आँकड़े एक ही स्मृति में रहते हैं, और यह बहुत बाद का योगदान है। नामों की जोड़ी ध्यान से रखें: बीजगणित के लिए बूल, परिपथों में उपयोग के लिए शैनन, सरलीकरण मानचित्र के लिए कार्नो।

सही उत्तर है C, एक्सऑर गेट। दो एक-बिट संख्याओं को जोड़ने पर योग 1 तब होता है जब ठीक एक बिट 1 हो, और 0 तब जब दोनों 0 हों या दोनों 1 हों, और यही एक्सऑर का नियम है; इसलिए अर्ध योजक में योग रेखा एक्सऑर गेट से आती है। A गलत है क्योंकि अर्ध योजक में एंड गेट हासिल देता है, जो 1 केवल तब होता है जब दोनों बिट 1 हों, और योग तथा हासिल को आपस में बदल देना यहाँ की आम भूल है। B गलत है क्योंकि ऑर गेट दोनों बिट 1 होने पर योग ग़लती से 1 दे देता, और वैसे भी ऑर गेट केवल पूर्ण योजक में आता है, जहाँ वह दो हासिल संकेतों को जोड़ता है। D गलत है क्योंकि मानक अर्ध योजक में नॉर गेट की कोई भूमिका नहीं है। पूरा वाक्य याद रखें: अर्ध योजक बराबर योग के लिए एक्सऑर और हासिल के लिए एंड, दो निवेश, कोई आने वाला हासिल नहीं।

सही उत्तर है C, नॉट गेट। यह एकमात्र गेट है जो एक ही निवेश लेता है, और वह जो तर्क स्तर पाता है उसे उलट देता है, 0 के निवेश पर 1 और 1 के निवेश पर 0 देता है; चूँकि निर्गम निवेश का व्युत्क्रम या पूरक होता है, इस परिपथ को व्युत्क्रमक कहा जाता है। बूलियन संकेतन में इसे चर पर रेखा या अपॉस्ट्रॉफ़ी से लिखा जाता है, और चित्र में एक त्रिभुज से जिसकी नोक पर छोटा वृत्त होता है। A गलत है क्योंकि एंड गेट में दो या अधिक निवेश होते हैं और वह कुछ उलटता नहीं। B इसी कारण गलत है। D गलत है क्योंकि नैंड गेट केवल एंड संक्रिया के परिणाम को उलटता है और उसमें सामान्यतः दो निवेश होते हैं, हालाँकि यह याद रखने योग्य है कि दोनों निवेश जोड़ दिए गए नैंड गेट व्युत्क्रमक की तरह काम करता है, और यही एक प्रमाण है कि नैंड सार्वत्रिक गेट है।

सही उत्तर है C, आठ। प्रत्येक निवेश दो मानों में से एक ले सकता है, इसलिए तीन निवेशों के भिन्न संयोजनों की संख्या दो को तीन बार अपने से गुणा करने पर, यानी दो की तीन घात पर, आठ मिलती है। इसी नियम से दो निवेश के लिए चार, चार निवेश के लिए सोलह और पाँच के लिए बत्तीस पंक्तियाँ बनती हैं। A गलत है क्योंकि तीन केवल निवेशों की संख्या है, संयोजनों की नहीं, और किसी सत्यता सारणी में उतनी ही पंक्तियाँ नहीं होतीं जितने निवेश स्तंभ हों। B गलत है क्योंकि वह निवेशों की संख्या को दो से गुणा करने से आता है, जो इस प्रश्न की सबसे आम भूल है; संबंध दो की घात का है, गुणनफल का नहीं। D गलत है क्योंकि नौ तीन का वर्ग है, जिसमें आधार और घातांक उलट गए हैं; आधार सदैव दो ही रहेगा, क्योंकि प्रत्येक चर द्विआधारी है। पंक्तियों की संख्या जाँच लेना किसी छूटे संयोजन को पकड़ने का तेज़ तरीका भी है।

सही उत्तर है B, 1। यह जोड़ के लिए पूरक नियम है, जो ऑर संक्रिया से मेल खाता है। A जो भी मान ले, A और उसके पूरक में से एक 1 अवश्य होगा, और ऑर गेट किसी भी निवेश के 1 होने पर 1 देता है, इसलिए दोनों स्थितियों में व्यंजक का मान 1 रहता है। A गलत है क्योंकि 0 गुणा के लिए बने साथी नियम का उत्तर है, अर्थात A गुणा A का पूरक, जहाँ एक गुणक सदैव 0 रहता है और एंड गेट इसलिए 0 देता है; प्रश्नपत्रों में ये दोनों पूरक नियम नियमित रूप से आपस में बदल दिए जाते हैं। C गलत है क्योंकि A जोड़ A, न कि A जोड़ उसका पूरक, A लौटाता है, और यह समघाती नियम है। D गलत है क्योंकि बूलियन बीजगणित में कोई नियम किसी योग को उसके ही एक पद के पूरक में नहीं बदलता। जोड़ी साथ याद रखें: चर ऑर उसका पूरक बराबर 1, चर एंड उसका पूरक बराबर 0।