बूलियन बीजगणित में A तथा A के पूरक के योग का मान क्या होता है?

सही उत्तर है B, ऑर। सारणी को पंक्ति दर पंक्ति पढ़ें। निर्गम 0 केवल तब है जब दोनों निवेश 0 हों, और शेष तीनों पंक्तियों में, उस पंक्ति में भी जहाँ दोनों निवेश 1 हैं, निर्गम 1 है। यह ठीक ऑर गेट का नियम है, जो कम से कम एक निवेश के 1 होने पर 1 देता है और समांतर क्रम में जुड़े दो स्विचों जैसा व्यवहार करता है। A गलत है क्योंकि नॉट गेट में केवल एक निवेश होता है, इसलिए उसकी सारणी में दो निवेश स्तंभ हो ही नहीं सकते। C गलत है क्योंकि एक्सऑर गेट केवल निवेशों के अंतर पर प्रतिक्रिया करता है, इसलिए दोनों निवेश 1 वाली अंतिम पंक्ति में उसका निर्गम 1 के बजाय 0 होता; यही एक पंक्ति ऑर को एक्सऑर से अलग करती है और इसी कारण यह विकल्प रखा जाता है। D गलत है क्योंकि एंड गेट केवल अंतिम पंक्ति में 1 और पहली तीन में 0 देता है, जो दिखाई गई सारणी का उल्टा है।

सही उत्तर है B, नैंड और नॉर। इनमें से प्रत्येक गेट अकेला ही हर दूसरा गेट और इसलिए हर तर्क परिपथ बनाने के लिए पर्याप्त है: दोनों निवेश जोड़ दिए गए नैंड गेट नॉट की तरह काम करता है, क्रम में लगे दो नैंड एंड देते हैं, और तीन का उपयुक्त विन्यास ऑर देता है; यही सब केवल नॉर गेटों से भी हो सकता है। इसी कारण चिप निर्माता एक ही प्रकार के गेट वाले पैकेज बेचते हैं। A गलत है क्योंकि एंड और ऑर अपने आप पूरक नहीं बना सकते; नॉट के बिना वे कभी किसी संकेत को उलट नहीं सकते। C गलत है क्योंकि एक्सऑर और एक्सनॉर स्वयं व्युत्पन्न गेट हैं, जो आधारभूत तीनों से बने हैं, और इनमें से कोई अकेला पूरा समूह नहीं बना सकता। D गलत है क्योंकि नॉट के साथ एंड से सब कुछ बनाया जा सकता है, पर इस जोड़ी को सार्वत्रिक गेट का नाम नहीं दिया जाता; यह नाम उन दो अकेले गेटों के लिए है जो स्वयं पर्याप्त हैं।

सही उत्तर है B, पूरकों का योग। डी मॉर्गन का दूसरा प्रमेय कहता है कि A और B का पूरक, A के पूरक या B के पूरक के बराबर होता है। काम करने का नियम है रेखा तोड़ो और चिह्न बदलो, इसलिए पूरक को चरों पर वितरित करते ही बिंदु जोड़ में बदल जाता है। A गलत है क्योंकि पूरकों का गुणनफल पहले प्रमेय का परिणाम है, जो योग के पूरक पर लागू होता है, गुणनफल के पूरक पर नहीं; दोनों प्रमेयों को आपस में बदल देना इस प्रश्न की मानक भूल है। C गलत है क्योंकि किसी व्यंजक का पूरक लेने पर वह बदलना ही चाहिए, जब तक वह कोई अचर न हो, और A तथा B का गुणनफल अपना पूरक नहीं है। D गलत है क्योंकि मान निवेशों पर निर्भर करता है: जब A और B दोनों 1 हों तो व्यंजक 0 हो जाता है, इसलिए वह सदैव 1 नहीं रह सकता। दोनों प्रमेय मिलकर केवल नैंड या केवल नॉर से अभिकल्पना संभव बनाते हैं।

सही उत्तर है C, जब दोनों निवेश भिन्न हों। अपवर्जी ऑर गेट अंतर-संसूचक है: वह 0 और 1 या 1 और 0 के संयोजनों पर 1 देता है, और निवेश समान होने पर 0 देता है। इसे कभी-कभी कोई एक, पर दोनों नहीं, के रूप में पढ़ा जाता है। A गलत है क्योंकि दोनों निवेश 1 होने पर एक्सऑर का निर्गम 0 होता है; यही पंक्ति उसे साधारण ऑर गेट से अलग करती है, जो वहाँ 1 देता। B गलत है क्योंकि दोनों निवेश 0 होने पर भी वे समान हैं, इसलिए निर्गम फिर 0 ही है। D गलत है क्योंकि समान निवेशों पर 1 देना एक्सनॉर गेट का लक्षण है, जो एक्सऑर का पूरक है, समता-संसूचक की तरह काम करता है और दो द्विआधारी संख्याओं की बिट दर बिट तुलना में प्रयोग होता है। अर्ध योजक में एक्सऑर गेट योग बिट देता है और एंड गेट हासिल।

सही उत्तर है D, पूरक अथवा अपूरक रूप में कोई चर। बूलियन बीजगणित में लिटरल किसी व्यंजक में किसी चर की एक उपस्थिति है, चाहे वह सादा आए या उस पर रेखा लगी हो। लिटरल की गिनती से यह आँका जाता है कि कोई व्यंजक कितना महँगा है, क्योंकि प्रत्येक लिटरल किसी गेट की एक निवेश रेखा बनता है, इसलिए सरलीकरण की सफलता इससे नापी जाती है कि उसने कितने लिटरल हटाए। A गलत है क्योंकि पद को केवल सादे रूप तक सीमित कर देने पर पूरक उपस्थिति के लिए कोई नाम ही नहीं बचेगा, जबकि वह भी लिटरल है। C इसके उल्टे कारण से गलत है: पूरक रूप ही एकमात्र प्रकार नहीं है। B गलत है क्योंकि जैसा लिखा है, वह चर को उसके पूरक के साथ लेने का संकेत देता है, जो एक जोड़ी का वर्णन है, न कि उस एक उपस्थिति का जो लिटरल होती है। ध्यान रखें कि A और B का पूरक जैसे पद में दो लिटरल तथा दो चर होते हैं।