संख्या पद्धतियां और डेटा निरूपण: बाइनरी, ऑक्टल, हेक्साडेसिमल

कंप्यूटर के भीतर रखी हर सूचना, चाहे वह टाइप किया गया अक्षर हो, कोई चित्र हो, गीत हो या किसी प्रोग्राम का निर्देश, अंत में दो अवस्थाओं के रूप में ही संचित होती है: धारा का बहना या न बहना, चुंबकित होना या न होना। यही कारण है कि मशीन दशमलव नहीं, बल्कि द्विआधारी यानी बाइनरी पद्धति में गिनती करती है। यह अध्याय बताता है कि दशमलव 25 बाइनरी में 11001 कैसे बनता है, ऐसे आठ अंक मिलकर एक बाइट कैसे बनाते हैं, और स्मृति में अक्षर A का मान 65 क्यों होता है। एसएससी, रेलवे और बैंकिंग की परीक्षाओं में यह अध्याय हर वर्ष पूछा जाता है, क्योंकि एक छोटी-सी गणना से ही प्रश्न बन जाता है।

आधार, मूलांक और स्थानीय मान

किसी भी संख्या पद्धति की पहचान उसके आधार से होती है, जिसे मूलांक भी कहते हैं। आधार का अर्थ है उस पद्धति में प्रयुक्त अलग-अलग अंकों की संख्या। दशमलव पद्धति का आधार 10 है, क्योंकि उसमें 0 से 9 तक दस अंक होते हैं। हर स्थानीय पद्धति में अंक का मान उसके स्थान पर निर्भर करता है, और दाईं ओर से बाईं ओर बढ़ते हुए हर स्थान का मान आधार की बढ़ती घातों के बराबर होता है। दशमलव 345 में 3 का अर्थ 3 x 10², 4 का अर्थ 4 x 10¹ और 5 का अर्थ 5 x 10⁰ है। यही नियम हर आधार पर लागू होता है, इसलिए बाइनरी 1011 का मान 1 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ यानी दशमलव में 11 होता है। एक तथ्य कई प्रश्न हल कर देता है: किसी भी पद्धति का सबसे बड़ा अंक उसके आधार से सदैव एक कम होता है, इसलिए ऑक्टल संख्या में 8 और 9 कभी नहीं आ सकते।

कंप्यूटर में प्रयुक्त चार संख्या पद्धतियां

हेक्साडेसिमल पद्धति में A, B, C, D, E और F अक्षर क्रमशः दशमलव 10, 11, 12, 13, 14 और 15 के लिए प्रयुक्त होते हैं, क्योंकि इनके लिए कोई एक अंक उपलब्ध नहीं है। ऑक्टल और हेक्साडेसिमल का उपयोग संक्षेप लेखन के लिए होता है: ये बिट की लंबी श्रृंखला को कुछ ही पढ़ने योग्य चिह्नों में समेट देते हैं, इसीलिए स्मृति के पते और रंग कोड हेक्साडेसिमल में लिखे जाते हैं।

एक पद्धति से दूसरी में रूपांतरण

• दशमलव से बाइनरी: संख्या को बार-बार 2 से भाग दें, हर शेषफल लिखें और शेषफलों को नीचे से ऊपर पढ़ें। 25 को भाग देने पर शेषफल 1, 0, 0, 1, 1 मिलते हैं, अतः 25 का बाइनरी 11001 है।
• बाइनरी से दशमलव: हर बिट को उसके स्थानीय मान से गुणा करके जोड़ दें। 11001 के लिए यह 16 + 8 + 0 + 0 + 1 अर्थात 25 है।
• बाइनरी से ऑक्टल: दाईं ओर से तीन-तीन बिट के समूह बनाकर हर समूह का दशमलव मान लिखें, क्योंकि 2³ = 8 होता है। इस प्रकार 110 010 111 का ऑक्टल 627 है।
• बाइनरी से हेक्साडेसिमल: दाईं ओर से चार-चार बिट के समूह बनाएं, क्योंकि 2⁴ = 16 होता है। इस प्रकार 1110 का हेक्साडेसिमल E है।
• ऑक्टल से हेक्साडेसिमल: सीधा कोई सरल तरीका नहीं है; पहले ऑक्टल को बाइनरी में खोलें, फिर बिट को चार-चार के समूहों में बांटकर हेक्साडेसिमल अंक पढ़ें।

बिट, बाइट और भंडारण की इकाइयां

बिट का पूरा नाम बाइनरी डिजिट है; एक 0 या एक 1 ही एक बिट है और यही आंकड़ों की सबसे छोटी इकाई है। चार बिट से एक निबल और आठ बिट से एक बाइट बनती है, और सामान्यतः एक अक्षर एक बाइट में संचित होता है। बड़ी इकाइयां 2¹⁰ यानी 1024 के गुणक में बढ़ती हैं, 1000 के नहीं, और परीक्षक यहीं भ्रम उत्पन्न करते हैं।

अक्षरों और चित्रों का निरूपण

संख्याएं सीधे बाइनरी में रखी जाती हैं, परंतु अक्षरों और चिह्नों के लिए ऐसा कोड चाहिए जो तय करे कि कौन-सा बिट प्रारूप किस अक्षर को दर्शाएगा। मानक ASCII, अर्थात अमेरिकन स्टैंडर्ड कोड फॉर इन्फॉर्मेशन इंटरचेंज, सात बिट का कोड है और इसमें 128 अक्षर आते हैं; बड़ा A का मान 65, छोटा a का मान 97 और अंक चिह्न 0 का मान 48 होता है। विस्तारित ASCII आठवां बिट जोड़कर 256 अक्षरों तक पहुंचता है। EBCDIC आईबीएम का आठ बिट कोड है जो मेनफ्रेम कंप्यूटरों में प्रयुक्त होता था। BCD अर्थात बाइनरी कोडेड डेसिमल में हर दशमलव अंक अलग-अलग चार बिट में रखा जाता है, इसलिए 25 को 0010 0101 लिखा जाता है। यूनिकोड इसलिए बनाया गया ताकि देवनागरी सहित संसार की हर लिपि निरूपित की जा सके; इसके पहले 128 कोड बिंदु ASCII जैसे ही हैं, जिससे पुरानी फाइलें पढ़ी जाती रहें। चित्र पिक्सेल के जाल के रूप में रखा जाता है, जिसमें हर पिक्सेल लाल, हरे और नीले रंग की तीव्रता रखता है, और ध्वनि प्रति सेकंड हजारों नमूनों की संख्याओं के रूप में।

बाइनरी अंकगणित और पूरक

बाइनरी जोड़ के चार नियम हैं: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 तथा 1 + 1 = 0 और हासिल 1। घटाव प्रायः सीधे नहीं किया जाता; कंप्यूटर पूरक की सहायता से उसे जोड़ में बदल देता है। किसी बाइनरी संख्या का 1 का पूरक हर 0 को 1 और हर 1 को 0 करके प्राप्त होता है। 2 का पूरक 1 के पूरक में एक जोड़ने पर मिलता है और ऋणात्मक संख्याओं को रखने की यही मानक विधि है, क्योंकि तब एक ही योजक परिपथ जोड़ और घटाव दोनों कर लेता है। चिह्नयुक्त बाइनरी संख्या में सबसे बाईं ओर का बिट, जिसे सर्वाधिक सार्थक बिट कहते हैं, चिह्न बिट होता है: 0 धनात्मक और 1 ऋणात्मक संख्या दर्शाता है। आठ बिट का चिह्नरहित समूह 0 से 255 तक के मान रख सकता है, क्योंकि 2⁸ = 256 होता है।